Ο παράξενος κόσμος των τρι-τέλειων αριθμών

Οι τέλειοι αριθμοί είναι παλιοί γνώριμοι για όσους αγαπούν τα μαθηματικά αναψυχής. Από την αρχαιότητα έχουν συναρπάσει φιλοσόφους και επιστήμονες.

Υπάρχει όμως και μια ακόμη πιο σπάνια και εντυπωσιακή εκδοχή τους: οι τρι-τέλειοι αριθμοί.

Ένας αριθμός λέγεται τέλειος όταν είναι ίσος με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του, δηλαδή όλων των διαιρετών του εκτός από τον ίδιο.

Το κλασικό παράδειγμα είναι το 6. Οι γνήσιοι διαιρέτες του είναι οι 1, 2 και 3 και πράγματι ισχύει ότι 1 + 2 + 3 = 6.

Άλλοι γνωστοί τέλειοι αριθμοί είναι το 28, το 496 και το 8128.

Μέχρι σήμερα έχουν βρεθεί 51 τέλειοι αριθμοί και όλοι έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό: είναι ζυγοί.

Μέχρι στιγμής δεν έχει βρεθεί κανένας, αλλά ούτε έχει αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν. Παράλληλα, παραμένει άγνωστο αν οι τέλειοι αριθμοί είναι άπειροι, αν και πολλοί μαθηματικοί εκτιμούν ότι πιθανότατα είναι.

Μια διαφορετική προσέγγιση στους τέλειους αριθμούς

Υπάρχει και ένας εναλλακτικός –και ιδιαίτερα χρήσιμος– τρόπος να τους ορίσουμε.

Αν προσθέσουμε όλους τους διαιρέτες ενός τέλειου αριθμού, συμπεριλαμβανομένου και του ίδιου, τότε το άθροισμα είναι ίσο με το διπλάσιό του.

Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 6 είναι:
1, 2, 3 και 6

1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 × 6

Κάπου εδώ προκύπτει ένα νέο ερώτημα:

Μπορεί να υπάρξει αριθμός του οποίου οι διαιρέτες να αθροίζονται σε τριπλάσια τιμή από τον ίδιο;

Η απάντηση είναι ναι. Πρόκειται για εξαιρετικά σπάνιες περιπτώσεις, αλλά υπάρχουν. Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται τρι-τέλειοι.

Ο πρώτος τρι-τέλειος αριθμός είναι το 120.

Οι διαιρέτες του είναι:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 και 120

Αν τους προσθέσουμε:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Και αφού:
3 × 120 = 360

το 120 πληροί απόλυτα τον ορισμό του τρι-τέλειου αριθμού.

Πόσοι τρι-τέλειοι αριθμοί είναι γνωστοί;
Μέχρι σήμερα έχουν εντοπιστεί μόλις έξι:

120
672
523.776
459.818.240
1.476.304.896
5.100.118.016

Τίποτα δεν δείχνει πόσοι ακόμη μπορεί να υπάρχουν ή αν αυτή η μικρή λίστα πλησιάζει στην ολοκλήρωσή της.

Πρόκειται για ένα από τα πολλά μυστήρια των μαθηματικών που παραμένουν ανοιχτά. Και ποιος ξέρει; Ίσως η επόμενη μεγάλη ανακάλυψη να γίνει από κάποιον που απλώς τόλμησε να ψάξει λίγο βαθύτερα στον κόσμο των αριθμών.